Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5 Número 3 - Año 2026
Página | 725
Los Tres Primeros Grupos de Funciones de Frases: Estructura
Algebraica, Simetría y Realizaciones Geométricas
The First Three Phrase Function Groups: Algebraic Structure, Symmetry, and
Geometric Realizations
Fernando Ricardo González Díaz
fgonzalez33@outlook.com
https://orcid.org/0009-0009-9704-1119
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada (CICATA), Instituto
Politécnico Nacional (IPN)
Ciudad de México – México
Artículo recibido: 14//07/2026
Aceptado para publicación: 16/08/2026
Conflictos de Intereses: Ninguno que declarar
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RESUMEN
Este artículo desarrolla los tres primeros grupos de funciones de frase, FR(1), FR(2) y
FR(3), a partir de la organización combinatoria de letras en una frase mediante matrices
asociadas y matrices restringidas. La jerarquía comienza con el grupo trivial FR(1) y continúa
con el grupo cíclico FR(2) Z₂. El primer caso no abeliano surge en el grupo de funciones de
frase FR(3), cuyas seis funciones de frase actúan como rotaciones y reflexiones de un triángulo
equilátero. Se demuestra que FR(3) D₃ S₃, estableciendo conexiones directas entre
transformaciones de frase, simetría diedral clásica y grupos de permutación. La estructura de
subgrupos de FR(3) se caracteriza completamente, incluyendo el subgrupo de rotación, los
subgrupos de reflexión y el retículo de subgrupos correspondiente. Además, se demuestra que
la conjugación mediante funciones de frase de reflexión transforma las rotaciones en sus
inversas, reproduciendo el comportamiento geométrico clásico de las reflexiones en grupos
diedrales. Estos resultados establecen conexiones naturales entre el lenguaje, el álgebra, la
geometría y la simetría visual, y motivan el estudio de grupos de funciones de frase de orden
superior.
Palabras clave: grupos de funciones de frases, grupos diedrales, grupos simétricos,
realizaciones geométricas
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ABSTRACT
This This paper develops the first three phrase function groups, FR(1), FR(2), and
FR(3), from the combinatorial organization of letters in a phrase through associated and
restricted matrices. The hierarchy begins with the trivial group FR(1) and continues with the
cyclic group FR(2) Z₂. The first nonabelian instance arises in the phrase function group
FR(3), whose six phrase functions act as rotations and reflections of an equilateral triangle. It
is shown that FR(3) D₃ S₃, establishing direct connections between phrase transformations,
classical dihedral symmetry, and permutation groups. The subgroup structure of FR(3) is
completely characterized, including the rotation subgroup, the reflection subgroups, and the
corresponding subgroup lattice. In addition, conjugation by reflection phrase functions is
shown to send rotations to their inverses, reproducing the classical geometric behavior of
reflections in dihedral groups. These results establish natural connections between language,
algebra, geometry, and visual symmetry, and motivate the study of higher-order phrase
function groups.
Keywords: phrase function groups, dihedral groups, symmetric groups, geometric
realizations
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INTRODUCCIÓN
La simetría ocupa un lugar central en las matemáticas debido a sus profundas conexiones con
el álgebra, la geometría, la combinatoria y numerosas áreas de las ciencias naturales
(Armstrong, 1988; Weyl, 1952). Los grupos de simetría proporcionan un lenguaje unificador
para describir transformaciones, invariancias y estructuras geométricas, desempeñando un
papel fundamental tanto en las matemáticas puras como en sus aplicaciones en física, química,
informática y arte matemático (Coxeter, 1969; Carter, 2009).
Entre los ejemplos más importantes se encuentran los grupos cíclicos, los grupos diedrales y
los grupos simétricos, los cuales describen respectivamente simetrías rotacionales, simetrías de
polígonos regulares y permutaciones de conjuntos finitos (Fraleigh, 2003; Rotman, 1995;
Gallian, 2021). En particular, el grupo diedral del triángulo equilátero constituye uno de los
primeros ejemplos no abelianos estudiados en teoría de grupos y representa un puente natural
entre estructuras algebraicas y realizaciones geométricas (Armstrong, 1988; Carter, 2009).
Recientemente, González Díaz y García Salcedo (2024) introdujeron una construcción
combinatoria basada en el conteo de letras de una frase mediante matrices asociadas y matrices
restringidas, estableciendo un nuevo marco para el estudio de transformaciones sintagmáticas
y sus propiedades algebraicas. Posteriormente, González Díaz (2025) extendió esta idea
mediante la introducción del grupo de funciones de frase FR(4), mostrando su relación con el
grupo diedral del cuadrado y diversas aplicaciones visuales y geométricas.
En el presente trabajo se estudian los tres primeros grupos de funciones de frase, FR(1), FR(2)
y FR(3), construidos a partir de frases formadas por letras distintas y de las matrices asociadas
a dichas frases. La jerarquía comienza con el grupo trivial FR(1) y continúa con el grupo cíclico
FR(2), isomorfo al grupo Z₂. El primer caso no abeliano aparece en el grupo de funciones de
frase FR(3), cuyas seis funciones actúan como rotaciones y reflexiones de un triángulo
equilátero.
Uno de los resultados principales de este trabajo es la demostración de que FR(3) D₃ S₃,
estableciendo conexiones directas entre transformaciones de frases, simetría diedral clásica y
grupos de permutación.
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Asimismo, se caracteriza completamente la estructura de subgrupos de FR(3), incluyendo el
subgrupo de rotaciones, los subgrupos de reflexión y el correspondiente retículo de subgrupos.
Además, se demuestra que la conjugación mediante funciones de reflexión transforma las
rotaciones en sus inversas, reproduciendo el comportamiento geométrico clásico de las
reflexiones en grupos diedrales.
Los grupos estudiados admiten realizaciones geométricas naturales. La transición desde un
único vértice hasta un segmento y finalmente un triángulo equilátero refleja el incremento
gradual de complejidad algebraica y proporciona una interpretación geométrica de las
propiedades de simetría de los grupos de funciones de frase.
Las principales contribuciones de este trabajo son las siguientes:
• La construcción explícita de los grupos FR(1), FR(2) y FR(3) a partir de matrices
asociadas y matrices restringidas.
• La demostración de que FR(3) es un grupo no abeliano isomorfo al grupo diedral D₃ y
al grupo simétrico S₃.
• La caracterización de la acción de las funciones de reflexión sobre el subgrupo de
rotaciones mediante conjugación por inversión.
• La realización geométrica de las simetrías de los grupos de funciones de frase mediante
configuraciones geométricas elementales y retículos de subgrupos.
Los conceptos fundamentales de grupos, subgrupos, homomorfismos e isomorfismos
utilizados a lo largo del trabajo pueden consultarse en textos clásicos de álgebra abstracta
(Artin, 2011; Dummit y Foote, 2004).
El artículo está organizado de la siguiente manera. La Sección 2 introduce el grupo FR(1). La
Sección 3 estudia el grupo FR(2). La Sección 4 desarrolla el grupo de funciones de frase FR(3)
y sus propiedades algebraicas. La Sección 5 analiza la estructura de subgrupos de FR(3).
Finalmente, la Sección 6 presenta diversas realizaciones clásicas e interpretaciones
geométricas de los grupos de funciones de frase.
METODOLOGÍA
La presente investigación es de naturaleza teórica y deductiva y se desarrolla dentro del marco
de la teoría de grupos, la combinatoria y la geometría discreta.
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La metodología utilizada consiste en la construcción de matrices asociadas y matrices
restringidas derivadas de frases formadas por letras distintas pertenecientes a un alfabeto finito.
A partir de estas estructuras se definen funciones de frase y sus composiciones, permitiendo
construir los grupos de funciones de frase FR(1), FR(2) y FR(3).
Posteriormente se estudian las propiedades algebraicas de dichos grupos mediante
herramientas clásicas de teoría de grupos, incluyendo el análisis de axiomas de grupo, órdenes
de elementos, generadores, subgrupos e isomorfismos con grupos clásicos.
Finalmente, se desarrollan realizaciones geométricas de las funciones de frase mediante puntos,
segmentos y triángulos equiláteros, proporcionando una interpretación visual de las estructuras
algebraicas obtenidas.
El grupo de funciones de frase FR(1)
Sea f = l₁, donde l₁ Σ, una frase formada por una única letra perteneciente a un alfabeto finito
Σ.
La matriz restringida correspondiente está dada por , la cual es una matriz de
dimensión 1 × 1 y genera la única función de frase posible f₁(f) = l₁.
Desde el punto de vista geométrico, la matriz restringida admite una realización natural
como un único punto identificado con la letra l₁, tal como se muestra en la Figura 1.
Figura 1. Realización geométrica de la matriz restringida correspondiente a la función de
frase f₁(f) = l₁.
Fuente: elaboración propia.
Definición 1. Sea FR(1) = {f₁}, el conjunto de funciones de frase asociadas a frases de longitud
uno, donde f₁(f) = l₁. La operación binaria en FR(1) está dada por la composición de funciones
de frase.
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Teorema 1. El conjunto de funciones de frase FR(1), dotado de la operación composición,
forma un grupo de orden uno.
Demostración. Dado que FR(1) contiene un único elemento, la asociatividad se satisface
inmediatamente. Además, (f₁ f₁)(f) = f₁(f₁(f)) = f₁(f), por lo que f₁ actúa simultáneamente
como elemento identidad y como su propio inverso.
Por consiguiente, FR(1) satisface todos los axiomas de grupo y constituye el grupo trivial de
orden uno. □
Observación 1. El grupo FR(1) constituye el caso base para la construcción de grupos de
funciones de frase de orden superior.
Desde el punto de vista geométrico, FR(1) puede interpretarse como el grupo de simetrías de
un único punto, el cual permanece invariante bajo cualquier transformación permitida dentro
del sistema considerado. Esta interpretación proporciona el primer nivel de la jerarquía
geométrica que posteriormente conduce al segmento asociado a FR(2) y al triángulo equilátero
asociado a FR(3).
El grupo de funciones de frase FR(2)
Sea f = l₁l₂, donde l₁ ≠ l₂ y l₁, l₂ Σ, una frase de longitud dos sobre un alfabeto finito Σ.
La matriz asociada M(f) y la matriz restringida , introducidas en González Díaz y García
Salcedo (2024), están dadas por
y
Sean R₁ = [l₁ l₂] y R₂ = [l₂ l₁] los vectores fila de la matriz restringida . Las frases
correspondientes son y .
Para frases de longitud dos, la matriz restringida inversa no genera funciones de frase
adicionales, ya que sus filas coinciden con las de salvo por una permutación de sus
elementos. En consecuencia, definimos las funciones de frase f₁(f) = l₁l₂ y f₂(f) = l₂l₁.
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Desde el punto de vista geométrico, la matriz restringida admite una realización natural
como un segmento cuyos extremos corresponden a las letras l₁ y l₂, tal como se muestra en la
Figura 2.
Figura 2. Realización geométrica de la matriz restringida asociada a la función de frase
f₁(f) = l₁l₂ .
Fuente: elaboración propia.
Definición 2. Sea FR(2) = {f₁, f₂} el conjunto de funciones de frase asociadas a frases de
longitud dos con letras distintas, dotado de la composición de funciones como operación
binaria.
Teorema 2. El conjunto de funciones de frase FR(2) = {f₁, f₂} dotado de la operación
composición forma un grupo de orden dos.
Demostración. Dado que la composición de funciones es asociativa, únicamente resta verificar
la existencia del elemento identidad y de los inversos.
Además, f₁ f₁ = f₁ y f₁ f₂ = f₂ f₁ = f₂, por lo que f₁ actúa como elemento identidad.
Asimismo, f₂ f₂ = f₁, lo que implica que f₁⁻¹ = f₁ y f₂⁻¹ = f₂.
Por consiguiente, FR(2) satisface todos los axiomas de grupo y constituye un grupo de orden
dos. □
La tabla de composición de FR(2) se muestra en la Tabla 1.
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Tabla 1. Tabla de composición del grupo de funciones de frase FR(2)
Fuente: elaboración propia.
Teorema 3. El grupo de funciones de frase FR(2) es isomorfo al grupo cíclico de orden dos:
Demostración. Sea Z₂ = {0,1} con la suma módulo 2. Definimos la aplicación
mediante φ(f₁) = 0 y φ(f₂) = 1.
La aplicación φ es inyectiva, ya que elementos distintos de FR(2) poseen imágenes distintas.
Además, φ es sobreyectiva porque todo elemento de Z₂ es imagen de algún elemento de FR(2).
Para verificar que φ es un homomorfismo, basta comprobar que
para todos fᵢ, fⱼ FR(2), lo cual se deduce directamente de la tabla de composición de FR(2).
Por lo tanto, φ es un isomorfismo de grupos y, en consecuencia, FR(2) Z₂. □
Observación 2. El grupo FR(2) admite una realización geométrica natural como el grupo de
simetrías de un segmento. La función de frase f₁ corresponde a la identidad, mientras que f₂
corresponde a la reflexión que intercambia los extremos del segmento. Esta construcción
constituye la transición natural hacia la estructura no abeliana del grupo FR(3), asociado a las
simetrías del triángulo equilátero.
El grupo de funciones de frase FR(3)
Sea , una frase de longitud tres sobre el alfabeto finito Σ, donde l₁, l₂ y l₃ Σ son
letras distintas dos a dos.
f₁
f₂
f₁
f₁
f₂
f₂
f₂
f₁
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La matriz asociada M(f), la matriz restringida y la matriz restringida inversa ,
introducidas en González Díaz y García Salcedo (2024), están dadas por
y
Las filas de la matriz restringida definen las funciones de frase de rotación f₁(f) = l₁l₂l₃, f₂(f)
= l₃l₁l₂, y f₃(f) = l₂l₃l₁, mientras que las filas de la matriz restringida inversa definen las
correspondientes funciones de frase de reflexión −f₁(f) = l₃l₂l₁, −f₂(f) = l₂l₁l₃, y −f₃(f) = l₁l₃l₂.
Definición 3. El grupo de funciones de frase asociado a frases de longitud tres se define por
dotado de la composición de funciones de frase como operación binaria.
3.1. Realización geométrica de las funciones de frase de rotación
Las funciones de frase de rotación se obtienen asignando las letras de la frase a los
vértices de un triángulo equilátero en sentido antihorario.
Las funciones de frase f₁, f₂ y f₃ corresponden respectivamente a rotaciones de 0°, 120° y 240°,
tal como se muestra en la Figura 3.
Figura 3. Realización geométrica de las funciones de frase de rotación f₁, f₂ y f₃ como
rotaciones de un triángulo equilátero de 0°, 120° y 240°, respectivamente
Fuente: elaboración propia.
La Figura 4 ilustra la acción cíclica de las funciones de frase de rotación sobre las letras de la
frase y sobre el triángulo equilátero subyacente.
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Realización geométrica de las funciones de frase de reflexión
Las funciones de frase de reflexión se obtienen asignando las letras de la frase a los vértices de
un triángulo equilátero en sentido horario.
Las funciones de frase −f₁, −f₂ y −f₃ corresponden respectivamente a reflexiones respecto a las
tres bisectrices internas del triángulo equilátero, tal como se muestra en la Figura 4.
Figura 4. Realización geométrica de las funciones de frase de reflexión −f₁, −f₂ y −f₃ como
reflexiones de un triángulo equilátero respecto a sus bisectrices internas.
Fuente: elaboración propia.
La Figura 6 ilustra la acción de las funciones de frase de reflexión sobre las letras de la frase y
sobre el triángulo equilátero subyacente.
Figura 5. Diagrama triangular anidado que ilustra la acción cíclica de las funciones de frase
de rotación f₁, f₂ y f₃.
Fuente: elaboración propia.
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Figura 6. Diagrama triangular anidado que ilustra la acción de las funciones de frase de
reflexión −f₁, −f₂ y −f₃.
Fuente: elaboración propia.
Propiedades estructurales de FR(3)
Teorema 4. El conjunto FR(3) forma un grupo bajo la composición de funciones de frase.
Demostración. Los axiomas de grupo se verifican de la siguiente manera.
Clausura. La Tabla 2 muestra que la composición de cualesquiera dos elementos de FR(3)
pertenece nuevamente a FR(3). Por lo tanto, FR(3) es cerrado bajo composición.
Asociatividad. La composición de funciones de frase es asociativa, ya que la composición de
funciones es asociativa.
Elemento identidad. La función de frase f₁ actúa como elemento identidad, pues para todo g
FR(3) se tiene f₁ g = g y g f₁ = g.
Inversos. Los inversos de las funciones de frase de rotación son
f₁⁻¹ = f₁, f₂⁻¹ = f₃, y f₃⁻¹ = f₂, ya que f₂ f₃ = f₃ f₂ = f₁.
De manera similar, cada función de frase de reflexión es una involución:
(−f₁)⁻¹ = −f₁, (−f₂)⁻¹ = −f₂, y (−f₃)⁻¹ = −f₃, puesto que (−fᵢ) (−fᵢ) = f₁, para i = 1, 2 y 3.
Por consiguiente, todo elemento de FR(3) posee inverso en FR(3).
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En consecuencia, FR(3) satisface los axiomas de grupo y forma un grupo bajo la composición
de funciones de frase. □
Tabla 2. Tabla de Cayley del grupo de funciones de frase FR(3) bajo la operación composición
Fuente: elaboración propia.
La Tabla 2 muestra que la composición de dos funciones de frase de rotación es nuevamente
una función de frase de rotación, mientras que la composición de dos funciones de frase de
reflexión produce también una función de frase de rotación.
Por otra parte, la composición de una función de frase de rotación y una función de frase de
reflexión, en cualquiera de los dos órdenes posibles, produce siempre una función de frase de
reflexión.
Estas propiedades reproducen exactamente el comportamiento algebraico de las simetrías
clásicas del triángulo equilátero y anticipan la estrecha relación existente entre el grupo de
funciones de frase FR(3) y el grupo diedral D₃.
Teorema 5. En el grupo de funciones de frase FR(3), la composición de dos funciones de frase
de rotación es una función de frase de rotación y la composición de dos funciones de frase de
reflexión es también una función de frase de rotación.
Demostración. Consideramos dos casos.
Caso 1: Composición de rotaciones. De la Tabla 2 se observa que la composición de
cualesquiera dos elementos de R = {f₁, f₂, f₃} pertenece nuevamente a R = {f₁, f₂, f₃}.
Por ejemplo, f₂ f₂ = f₃, f₂ f₃ = f₁, y f₃ f₃ = f₂.
Por lo tanto, la composición de dos funciones de frase de rotación es nuevamente una función
de frase de rotación.
f₁
f₂
f₃
−f₁
−f₂
−f₃
f₁
f₁
f₂
f₃
−f₁
−f₂
−f₃
f₂
f₂
f₃
f₁
−f₃
−f₁
−f₂
f₃
f₃
f₁
f₂
−f₂
−f₃
−f₁
−f₁
−f₁
−f₂
−f₃
f₁
f₂
f₃
−f₂
−f₂
−f₃
−f₁
f₃
f₁
f₂
−f₃
−f₃
−f₁
−f₂
f₂
f₃
f₁
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Caso 2: Composición de reflexiones. De manera similar, la Tabla 2 muestra que
(−fᵢ) (−fⱼ) {f₁, f₂, f₃}, para i, j {1,2,3}.
Por consiguiente, la composición de dos funciones de frase de reflexión es una función de frase
de rotación.
Por lo tanto, la composición de dos funciones de frase de rotación es una función de frase de
rotación y la composición de dos funciones de frase de reflexión es también una función de
frase de rotación. □
Teorema 6. En el grupo de funciones de frase FR(3), la composición de una función de frase
de rotación y una función de frase de reflexión, en cualquiera de los dos órdenes posibles, es
siempre una función de frase de reflexión.
Demostración. La Tabla 2 muestra que fᵢ (−fⱼ) {−f₁, −f₂, −f₃}, para i, j {1,2,3}.
De manera similar, (−fⱼ) fᵢ {−f₁, −f₂, −f₃}, para i, j {1,2,3}.
Por lo tanto, la composición de una función de frase de rotación y una función de frase de
reflexión, en cualquiera de los dos órdenes posibles, es nuevamente una función de frase de
reflexión. □
Corolario 1. Sean R = {f₁, f₂, f₃} y S = {−f₁, −f₂, −f₃} los conjuntos de funciones de frase de
rotación y reflexión, respectivamente. Entonces la composición en FR(3) satisface
R R = R, R S = S, S R = S, y S S = R.
Demostración. La igualdad R R = R se sigue del hecho de que la composición de dos
funciones de frase de rotación es nuevamente una función de frase de rotación.
Asimismo, R S = S y S R = S se deducen del hecho de que la composición de una función
de frase de rotación y una función de frase de reflexión, en cualquiera de los dos órdenes
posibles, es nuevamente una función de frase de reflexión.
Finalmente, S S = R se sigue del hecho de que la composición de dos funciones de frase de
reflexión es una función de frase de rotación.
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Por lo tanto, las relaciones anteriores son válidas en FR(3). □
Teorema 7. El grupo de funciones de frase FR(3) es no abeliano.
Demostración. Para demostrar que FR(3) es no abeliano, basta exhibir dos elementos cuyas
composiciones dependan del orden de los factores.
De la Tabla 2 se obtiene (−f₁) (−f₃) = f₃, mientras que (−f₃) (−f₁) = f₂. Como f₂ ≠ f₃, se
concluye que (−f₁) (−f₃) ≠ (−f₃) (−f₁).
Por lo tanto, la composición en FR(3) no es conmutativa y, en consecuencia, el grupo FR(3) es
no abeliano. □
Este comportamiento constituye uno de los ejemplos más elementales de grupo finito no
abeliano (Herstein, 1975).
Observación 4. La no conmutatividad de FR(3) admite una interpretación geométrica natural.
Las composiciones (−f₁) (−f₃) y (−f₃) (−f₁) corresponden a realizar dos reflexiones sucesivas
del triángulo equilátero en diferente orden.
Dado que la composición de dos reflexiones es una rotación cuyo ángulo depende del orden en
que se realizan las reflexiones, ambas composiciones producen rotaciones distintas,
concretamente f₃ y f₂, respectivamente; véanse las Figuras 7 y 8.
Esta interpretación geométrica pone de manifiesto la estrecha relación existente entre las
funciones de frase y las simetrías clásicas del triángulo equilátero.
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Figura 7. Realización geométrica de la composición −f₁ −f₃. Dos reflexiones sucesivas del
triángulo equilátero producen la rotación correspondiente a la función de frase f₃
Fuente: elaboración propia.
Figura 8. Realización geométrica de la composición −f₃ −f₁. Dos reflexiones sucesivas del
triángulo equilátero producen la rotación correspondiente a la función de frase f₂
Fuente: elaboración propia.
Observación 5. Los elementos de FR(3) poseen los mismos órdenes que las simetrías
correspondientes del triángulo equilátero.
La función de frase identidad f₁ tiene orden uno.
Las funciones de frase de rotación no triviales tienen orden tres: f₂³ = f₃³ = f₁.
Cada función de frase de reflexión es una involución y, por tanto, posee orden dos:
(−f₁)² = (−f₂)² = (−f₃)² = f₁.
Geométricamente, tres rotaciones sucesivas devuelven el triángulo equilátero a su posición
original, mientras que dos reflexiones sucesivas respecto al mismo eje restauran la
configuración inicial.
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Página | 741
La distribución de órdenes de los elementos de FR(3) coincide exactamente con la del grupo
de simetrías del triángulo equilátero, es decir, un elemento identidad, dos rotaciones de orden
tres y tres reflexiones de orden dos (Armstrong, 1988; Carter, 2009).
Teorema 8. El grupo de funciones de frase FR(3) es isomorfo al grupo diedral D₃.
Demostración. El grupo FR(3) consta de los seis elementos FR(3) = {f₁, f₂, f₃, −f₁, −f₂, −f₃},
donde f₁, f₂ y f₃ son funciones de frase de rotación, mientras que −f₁, −f₂ y −f₃ son funciones de
frase de reflexión.
De manera análoga, el grupo diedral D₃ está formado por las seis simetrías del triángulo
equilátero: tres rotaciones y tres reflexiones (Armstrong, 1988; Carter, 2009).
Sea r una rotación de 120° y sea s una reflexión. Entonces, D₃ = r,s | r³ = e, s² = e, sr = r⁻¹s.
Definimos la aplicación φ : FR(3) → D₃ mediante
φ(f₁) = e, φ(f₂) = r, φ(f₃) = r², φ(−f₁) = s, φ(−f₂) = sr, y φ(−f₃) = sr².
La aplicación φ es biyectiva, ya que establece una correspondencia uno a uno entre las tres
funciones de frase de rotación y las tres rotaciones del triángulo equilátero, así como entre las
tres funciones de frase de reflexión y las tres reflexiones del triángulo.
Además, φ(g h) = φ(g)φ(h) para todos g, h FR(3), lo cual se deduce directamente de la
Tabla 2 y de la tabla de multiplicación del grupo diedral D₃.
Por lo tanto, φ es un isomorfismo de grupos y, en consecuencia, FR(3) D₃. □
Corolario 2. El grupo de funciones de frase FR(3) es isomorfo al grupo simétrico S₃.
Demostración. Del Teorema 8 se tiene que FR(3) D₃.
Por otra parte, es un resultado clásico de la teoría de grupos que el grupo diedral D₃,
correspondiente al grupo de simetrías del triángulo equilátero, es isomorfo al grupo simétrico
S₃ de todas las permutaciones de tres elementos (Armstrong, 1988; Carter, 2009; Fraleigh,
2003).
Por lo tanto, D₃ S₃. Aplicando la transitividad de los isomorfismos se obtiene FR(3) S₃. □
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Página | 742
Teorema 9. La función de frase de rotación f₂ tiene orden tres. Equivalentemente, f₂³ = f₁.
Demostración. Sea f = l₁l₂l₃ una frase arbitraria de longitud tres. Aplicando la función de frase
de rotación f₂ una vez se obtiene f₂(f) = l₃l₁l₂.
Aplicando f₂ una segunda vez se obtiene f₂²(f) = f₂(l₃l₁l₂) = l₂l₃l₁.
Aplicando f₂ una tercera vez obtenemos f₂³(f) = f₂(l₂l₃l₁) = l₁l₂l₃ = f₁(f).
Puesto que la frase f = l₁l₂l₃ fue arbitraria, se concluye que f₂³ = f₁. Geométricamente, la función
de frase f₂ corresponde a una rotación del triángulo equilátero de 120°.
Por consiguiente, tres aplicaciones sucesivas producen una rotación total de 120° + 120° + 120°
= 360°, la cual devuelve el triángulo a su configuración original representada por la función
identidad f₁. □
Teorema 10. El grupo de funciones de frase (FR(3), ◦) es generado por la función de frase de
rotación f₂ y la función de frase de reflexión −f₁. En particular,
FR(3) = f₂, −f₁ = {f₁, f₂, f₃, −f₁, −f₂, −f₃},
donde las potencias y productos se toman respecto a la composición de funciones de frase.
Demostración. Del teorema anterior sabemos que f₂³ = f₁ y, por consiguiente, el subgrupo
cíclico generado por f₂ es f₂ = {f₁, f₂, f₂²} = {f₁, f₂, f₃}, el cual contiene precisamente las tres
funciones de frase de rotación.
Para obtener las funciones de frase de reflexión, componemos estas rotaciones con la función
de frase de reflexión −f₁. Utilizando la tabla de composición de FR(3), obtenemos
f₁ ◦ (−f₁) = −f₁, f₂ ◦ (−f₁) = −f₃, y f₂² ◦ (−f₁) = f₃ ◦ (−f₁) = −f₂.
Por lo tanto, {−f₁, −f₂, −f₃} f₂, −f₁.
Combinando las funciones de frase de rotación y reflexión concluimos que
f₂, −f₁ = {f₁, f₂, f₃, −f₁, −f₂, −f₃} = FR(3).
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Página | 743
Por consiguiente, FR(3) = f₂, −f₁, y en consecuencia el grupo de funciones de frase FR(3) es
generado por f₂ y −f₁. □
Corolario 3. El grupo de funciones de frase FR(3) puede ser generado por la función de frase
de rotación f₂ de orden tres junto con cualquier función de frase de reflexión de orden dos. Más
precisamente, FR(3) = f₂, −f₁ = f₂, −f₂ = f₂, −f₃.
Equivalentemente, FR(3) es generado por una función de frase de rotación f₂ que satisface
f₂³ = f₁ y por cualquier función de frase de reflexión −fⱼ que satisface (−fⱼ)² = f₁, con j {1, 2,
3}, donde los exponentes denotan composición repetida de funciones de frase.
Demostración. Del teorema anterior se tiene que f₂ = {f₁, f₂, f₃}, el cual contiene todas las
funciones de frase de rotación. Además, componiendo cualquier función de frase de reflexión
con potencias adecuadas de f₂ se obtienen las funciones de reflexión restantes. Por ejemplo,
f₂ ◦ (−f₂) = −f₁, f₂² ◦ (−f₂) = −f₃, f₂ ◦ (−f₁) = −f₃, f₂² ◦ (−f₁) = −f₂,
y
f₂ ◦ (−f₃) = −f₂, f₂² ◦ (−f₃) = −f₁.
Por lo tanto, cualquier función de frase de reflexión junto con el generador f₂ produce todas las
funciones de reflexión y, en consecuencia, genera el grupo completo FR(3). □
Interacción entre lenguaje, álgebra y geometría
El grupo de funciones de frase (FR(3), ◦) ilustra cómo las estructuras lingüísticas, algebraicas
y geométricas pueden coexistir dentro de un único marco matemático. Las propias funciones
de frase surgen a partir de la organización combinatoria de letras en palabras y frases, mientras
que su composición genera una estructura algebraica no abeliana que admite una realización
geométrica natural mediante las simetrías del triángulo equilátero.
Aspecto lingüístico: El grupo se origina a partir del arreglo combinatorio de letras de un
alfabeto que forman palabras y frases. Dentro de este contexto aparecen naturalmente patrones
palindrómicos.
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Por ejemplo, p = f₁f₂f₃(−f₃)(−f₂)(−f₁) y q = (−f₃)(−f₂)(−f₁)f₁f₂f₃ presentan una estructura simétrica
en la cual la sucesión de funciones de frase se lee en direcciones opuestas, reflejando la
dualidad existente entre rotaciones y reflexiones.
Aspecto algebraico: La composición de funciones de frase dota al conjunto de una estructura
de grupo no abeliano constituida por elementos rotacionales de orden tres y elementos de
reflexión de orden dos.
Aspecto geométrico: Cada función de frase corresponde a una simetría rotacional o reflexiva
del triángulo equilátero, proporcionando así una realización geométrica concreta de la
estructura algebraica abstracta.
Esta interacción entre lenguaje, álgebra y geometría convierte a (FR(3), ◦) en un grupo
matemáticamente rico y expresivo. Su construcción motiva naturalmente el estudio de sus
subgrupos, así como de sus conexiones algebraicas y geométricas con los grupos clásicos de
simetría.
Así, (FR(3), ◦) demuestra que incluso el acto elemental de ordenar letras puede generar una
rica estructura de simetrías, en la cual el lenguaje, el álgebra y la geometría emergen como
distintas manifestaciones de un mismo orden subyacente.
Un retrato visual y geométrico de FR(3)
Las construcciones geométricas desarrolladas a lo largo de esta sección culminan en la
representación visual mostrada en la Figura 9, la cual resume la estructura algebraica y
geométrica del grupo de funciones de frase (FR(3), ◦) en un único diagrama unificado.
Las seis funciones de frase del grupo se encuentran organizadas dentro de un hexágono regular
de acuerdo con sus realizaciones geométricas como simetrías del triángulo equilátero. Las tres
funciones de frase de rotación f₁, f₂ y f₃ están representadas mediante triángulos equiláteros
amarillos que ocupan la mitad superior del diagrama, mientras que las tres funciones de frase
de reflexión −f₁, −f₂ y −f₃ están representadas mediante triángulos equiláteros azules que
ocupan la mitad inferior. Esta organización hace visible de manera inmediata la diferencia entre
transformaciones que preservan la orientación y transformaciones que la invierten.
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Puesto que el grupo contiene exactamente seis elementos, el hexágono regular proporciona un
marco geométrico natural en el cual cada función de frase ocupa uno de los sectores del
diagrama. La construcción resultante puede interpretarse como un retrato geométrico del grupo,
traduciendo la estructura algebraica abstracta de (FR(3), ◦) en un objeto plano altamente
simétrico.
La posición central del diagrama enfatiza los isomorfismos clásicos
FR(3) D₃ S₃,
estableciendo una conexión entre el marco de las funciones de frase, el grupo diedral del
triángulo equilátero y el grupo simétrico de tres símbolos.
La disposición de las funciones de frase pone de manifiesto la coexistencia de rotaciones y
reflexiones dentro de un mismo objeto geométrico, revelando la estrecha relación entre
composición algebraica y simetría geométrica que constituye el núcleo del marco de funciones
de frase.
Así, el retrato hexagonal proporciona una síntesis visual unificada del origen lingüístico, la
estructura algebraica y la realización geométrica del grupo de funciones de frase (FR(3), ◦).
Figura 9. Retrato geométrico del grupo de funciones de frase (FR(3), ◦)
Nota: Los tres sectores amarillos representan las funciones de frase de rotación f₁, f₂ y f₃,
mientras que los tres sectores azules representan las funciones de frase de reflexión −f₁, −f₂ y
−f₃. Cada sector contiene la realización triangular correspondiente de la función de frase
asociada. El diagrama proporciona una representación geométrica unificada de los
isomorfismos FR(3) D₃ S₃.
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Fuente: elaboración propia.
Subgrupos del grupo de funciones de frase FR(3)
En esta sección estudiamos la estructura de subgrupos del grupo de funciones de frase FR(3).
Debido al isomorfismo FR(3) D₃ S₃, se espera que la estructura de subgrupos de FR(3)
coincida con la del grupo diedral del triángulo equilátero y con la del grupo simétrico de tres
elementos (Armstrong, 1988; Carter, 2009; Fraleigh, 2003).
Además del subgrupo trivial {f₁} y del propio grupo FR(3), existen un subgrupo cíclico de
orden tres formado por las funciones de frase de rotación y tres subgrupos de orden dos
generados por las funciones de frase de reflexión.
El subgrupo de rotaciones ROT(3)
Considérese el subconjunto ROT(3) = {f₁, f₂, f₃}. El siguiente teorema muestra que ROT(3)
constituye un subgrupo de FR(3).
Teorema 12. El conjunto ROT(3) = {f₁, f₂, f₃} es un subgrupo cíclico de FR(3) de orden tres.
Demostración. La Tabla 2 muestra que la composición de cualesquiera dos elementos de
ROT(3) pertenece nuevamente a ROT(3). Además, la función identidad f₁ pertenece a ROT(3)
y los inversos de sus elementos están dados por f₁⁻¹ = f₁, f₂⁻¹ = f₃, y f₃⁻¹ = f₂.
Por lo tanto, ROT(3) es un subgrupo de FR(3).
Además, puesto que f₂ = {f₁, f₂, f₂²} = {f₁, f₂, f₃}, se concluye que ROT(3) es un grupo cíclico
generado por f₂ y, en consecuencia, ROT(3) C₃. □
Para mayor claridad, la composición de las funciones de frase de rotación del subgrupo ROT(3)
se resume en la Tabla 3.
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Tabla 3. Tabla de composición de las funciones de frase de rotación del subgrupo ROT(3)
Fuente: elaboración propia.
Teorema 12. El subgrupo de rotaciones (ROT(3), ◦) es cíclico de orden tres y es generado por
la función de frase de rotación f₃. En particular, ROT(3) = f₃ = {f₁, f₃, f₃²}, donde el exponente
denota composición repetida de funciones de frase.
Demostración. Sea f = l₁l₂l₃ una frase arbitraria de longitud tres.
Aplicando la función de frase de rotación f₃ una vez se obtiene f₃(f) = f₃(l₁l₂l₃) = l₂l₃l₁.
Aplicando f₃ una segunda vez se obtiene f₃²(f) = f₃(f₃(f)) = f₃(l₂l₃l₁) = l₃l₁l₂ = f₂(f).
Aplicando f₃ una tercera vez obtenemos f₃³(f) = f₃(f₃²(f)) = f₃(l₃l₁l₂) = l₁l₂l₃ = f₁(f).
Por lo tanto, f₃ = {f₁, f₃, f₃²} = {f₁, f₂, f₃} = ROT(3).
En consecuencia, (ROT(3), ◦) es un grupo cíclico de orden tres generado por f₃. □
El subgrupo (ROT(3), ◦) constituye la componente rotacional del grupo de funciones de frase
FR(3). Algebraicamente, es un grupo cíclico de orden tres generado por f₂ o equivalentemente
por f₃. Geométricamente, sus elementos corresponden precisamente a las simetrías rotacionales
del triángulo equilátero.
Corolario 4. El subgrupo de rotaciones (ROT(3), ◦) es isomorfo al grupo cíclico C₃.
Demostración. Del Teorema 12 se sigue que el subgrupo (ROT(3), ◦) es un grupo cíclico de
orden tres. En particular, ROT(3) = f₃ = {f₁, f₂, f₃}.
Puesto que todo grupo cíclico de orden tres es isomorfo al grupo cíclico C₃ (Fraleigh, 2003),
se concluye que (ROT(3), ◦) C₃. □
◦
f₁
f₂
f₃
f₁
f₁
f₂
f₃
f₂
f₂
f₃
f₁
f₃
f₃
f₁
f₂
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Los subgrupos de reflexión
Examinamos ahora los subgrupos de FR(3) generados por las funciones de frase de reflexión.
Considérese el subconjunto A = {f₁, −f₁} FR(3).
El siguiente teorema muestra que este conjunto forma un subgrupo de FR(3) en el sentido
clásico de la teoría de grupos (Fraleigh, 2003).
Para mayor claridad, la composición de los elementos de A se resume en la Tabla 4.
Tabla 4. Tabla de composición de las funciones de frase del subgrupo A
◦
f₁
−f₁
f₁
f₁
−f₁
−f₁
−f₁
f₁
Fuente: elaboración propia.
Teorema 13. El subconjunto A = {f₁, −f₁} FR(3), dotado de la composición de funciones de
frase, forma un subgrupo de FR(3).
Demostración. Verificamos los axiomas de grupo.
Clausura. De la Tabla 4 se observa que la composición de cualesquiera dos elementos de A
pertenece nuevamente a A. Por lo tanto, g ◦ h A para todos g, h A.
Asociatividad. Puesto que los elementos de A son funciones de frase, la asociatividad se sigue
directamente de la asociatividad de la composición de funciones.
Elemento identidad. La función de frase f₁ actúa como elemento identidad, ya que f₁ ◦ g = g
y g ◦ f₁ = g para todo g A.
Inversos. El elemento identidad satisface f₁ ◦ f₁ = f₁, por lo que f₁ es su propio inverso. Además,
la función de frase de reflexión −f₁ es una involución, es decir, (−f₁) ◦ (−f₁) = f₁.
Por lo tanto, todo elemento de A posee un inverso en A. En consecuencia, A satisface todos
los axiomas de grupo y, por tanto, forma un subgrupo de FR(3). □
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Considérese el subconjunto B = {f₁, −f₂} FR(3). Para mayor claridad, la composición de los
elementos de B se resume en la Tabla 5.
Tabla 5. Tabla de composición de las funciones de frase del subgrupo B
◦
f₁
−f₂
f₁
f₁
−f₂
−f₂
−f₂
f₁
Fuente: elaboración propia.
Teorema 14. El subconjunto B = {f₁, −f₂} FR(3), dotado de la composición de funciones de
frase, forma un subgrupo de FR(3).
Demostración. La demostración es completamente análoga a la del Teorema 13, sustituyendo
la reflexión −f₁ por −f₂. □
Considérese el subconjunto C = {f₁, −f₃} FR(3). Para mayor claridad, la composición de los
elementos de C se resume en la Tabla 6.
Tabla 6. Tabla de composición de las funciones de frase del subgrupo C
◦
f₁
−f₃
f₁
f₁
−f₃
−f₃
−f₃
f₁
Fuente: elaboración propia.
Teorema 15. El subconjunto C = {f₁, −f₃} FR(3), dotado de la composición de funciones de
frase, forma un subgrupo de FR(3).
Demostración. La demostración es completamente análoga a la del Teorema 13, sustituyendo
la reflexión −f₁ por −f₃. □
Corolario 5. El grupo de funciones de frase FR(3) contiene exactamente tres subgrupos de
reflexión de orden dos, a saber, A = {f₁, −f₁}, B = {f₁, −f₂}, C = {f₁, −f₃}.
Cada uno de estos subgrupos es isomorfo al grupo cíclico C₂.
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Demostración. Por los Teoremas 13, 14 y 15, los subconjuntos A = {f₁, −f₁}, B = {f₁, −f₂}, C
= {f₁, −f₃} son subgrupos de FR(3) de orden dos. □
Además, cada subgrupo contiene exactamente un elemento no trivial de orden dos, a saber, −f₁,
−f₂ y −f₃, respectivamente. Por lo tanto, cada subgrupo es cíclico y está generado por su
elemento no trivial: A = −f₁, B = −f₂, C = −f₃.
Puesto que todo grupo cíclico de orden dos es isomorfo al grupo cíclico C₂ (Fraleigh, 2003), se
concluye que A C₂, B C₂, C C₂.
Por consiguiente, FR(3) contiene exactamente tres subgrupos de reflexión de orden dos, cada
uno de los cuales es isomorfo al grupo cíclico C₂. □
El subconjunto unitario E = {f₁}, dotado de la composición de funciones de frase, constituye
el subgrupo trivial de FR(3).
Una consecuencia importante de la estructura de subgrupos de FR(3) es que toda función de
frase del grupo puede obtenerse combinando los elementos del subgrupo de reflexión (B, ◦)
con los del subgrupo de rotaciones (ROT(3), ◦).
En efecto, la composición de la función identidad f₁ con los elementos de ROT(3) produce
todas las funciones de frase de rotación, mientras que la composición de la función de frase de
reflexión −f₂ con los elementos de ROT(3) produce todas las funciones de frase de reflexión.
Por consiguiente, todo elemento de FR(3) puede expresarse como la composición de un
elemento de ROT(3) con un elemento del subgrupo B.
Así, el grupo completo de funciones de frase FR(3) es generado por el subgrupo de rotaciones
junto con un único subgrupo de reflexión, reproduciendo la construcción clásica del grupo
diedral D₃ (Fraleigh, 2003; Carter, 2009).
Teorema 16. El grupo de funciones de frase (FR(3), ◦) es el producto de conjuntos del subgrupo
de reflexión B y del subgrupo de rotaciones ROT(3):
FR(3) = B ◦ ROT(3),
donde B ◦ ROT(3) = {b ◦ r | b B, r ROT(3)} denota el producto de conjuntos de B y ROT(3).
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Demostración. Considérense los subgrupos B = {f₁, −f₂} y ROT(3) = {f₁, f₂, f₃}.
Puesto que B contiene dos elementos, la demostración se divide naturalmente en dos casos
correspondientes a la composición de cada elemento de B con todos los elementos de ROT(3).
Caso 1. La composición de la función identidad f₁ B con cada elemento de ROT(3) produce
f₁ ◦ f₁ = f₁, f₁ ◦ f₂ = f₂, f₁ ◦ f₃ = f₃. Por lo tanto, se obtienen todas las funciones de frase de rotación.
Caso 2. La composición de la función de frase de reflexión −f₂ B con cada elemento de
ROT(3) produce −f₂ ◦ f₁ = −f₂, −f₂ ◦ f₂ = −f₃, −f₂ ◦ f₃ = −f₁. Por consiguiente, se obtienen todas
las funciones de frase de reflexión.
Por lo tanto, B ◦ ROT(3) = {f₁, f₂, f₃, −f₁, −f₂, −f₃} = FR(3).
Además, |B| = 2 y |ROT(3)| = 3, por lo que el producto de conjuntos contiene exactamente seis
elementos, agotando todos los elementos de FR(3).
En consecuencia, FR(3) = B ◦ ROT(3). □
De los resultados anteriores se siguen naturalmente varias observaciones.
En primer lugar, los subgrupos B y ROT(3) tienen intersección trivial, es decir, B ∩ ROT(3) =
{f₁}.
Además, la composición de dos rotaciones o de dos reflexiones produce una rotación, mientras
que la composición de una rotación con una reflexión, o viceversa, produce una reflexión.
Una propiedad estructural adicional de FR(3) es que las funciones de frase de reflexión
transforman las funciones de frase de rotación en sus inversas. Este comportamiento reproduce
la relación clásica entre rotaciones y reflexiones en los grupos diedrales (Fraleigh, 2003; Carter,
2009) y revela un nivel adicional de simetría interna en FR(3). Esta observación se formaliza
en el siguiente teorema.
Teorema 17. Para toda función de frase de reflexión −fᵢ y toda función de frase de rotación fⱼ
se cumple que (−fᵢ) ◦ fⱼ ◦ (−fᵢ) = fⱼ⁻¹, donde fⱼ⁻¹ denota el inverso de fⱼ en el grupo (FR(3), ◦).
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Así, la conjugación mediante una función de frase de reflexión envía cada función de frase de
rotación a su inversa, reproduciendo la estructura clásica del grupo diedral D₃ (Fraleigh, 2003;
Carter, 2009).
Demostración. Puesto que toda función de frase de reflexión tiene orden dos,
(−fᵢ)⁻¹ = (−fᵢ), para i = 1, 2, 3.
Utilizando la tabla de composición de FR(3) se verifica que la conjugación mediante cualquier
función de frase de reflexión fija la rotación identidad e intercambia las dos rotaciones no
triviales:
(−fᵢ) ◦ f₁ ◦ (−fᵢ) = f₁, (−fᵢ) ◦ f₂ ◦ (−fᵢ) = f₃, y (−fᵢ) ◦ f₃ ◦ (−fᵢ) = f₂.
Puesto que f₁⁻¹ = f₁, f₂⁻¹ = f₃, y f₃⁻¹ = f₂, se concluye que (−fᵢ) ◦ fⱼ ◦ (−fᵢ) = fⱼ⁻¹
para toda función de frase de reflexión −fᵢ y toda función de frase de rotación fⱼ. □
Estructura algebraica y geométrica de FR(3): un retículo de subgrupos
El grupo de funciones de frase FR(3) exhibe una estructura interna notablemente rica, a pesar
de originarse a partir de una construcción combinatoria sencilla basada en funciones de frase
definidas sobre tres letras distintas.
Su organización algebraica se vuelve particularmente transparente cuando se visualiza
mediante el retículo de subgrupos mostrado en la Figura 10. El diagrama pone de manifiesto la
interacción entre el subgrupo de rotaciones ROT(3), los subgrupos de reflexión A, B y C, y el
subgrupo trivial {f₁}, revelando así una arquitectura jerárquica que reproduce la estructura
clásica de subgrupos del grupo diedral D₃ (Armstrong, 1988; Carter, 2009; Fraleigh, 2003).
Más allá de su interpretación algebraica, el retículo refleja también una estructura geométrica
subyacente. Cada elemento de FR(3) corresponde naturalmente a una simetría del triángulo
equilátero. El subgrupo de rotaciones ROT(3) = {f₁, f₂, f₃} codifica las permutaciones cíclicas
de los vértices, mientras que los subgrupos
A = {f₁, −f₁}, B = {f₁, −f₂}, C = {f₁, −f₃}
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corresponden a reflexiones respecto a los tres ejes de simetría del triángulo.
Esta interpretación simultáneamente algebraica y geométrica constituye una de las
características distintivas del grupo diedral D₃ (Armstrong, 1988; Carter, 2009) y proporciona
un puente natural entre las simetrías de funciones de frase y las transformaciones geométricas
clásicas.
El retículo de subgrupos resultante proporciona un resumen conciso de la organización
algebraica y geométrica de FR(3) y se muestra en la Figura 10.
Figura 10. Retículo de subgrupos del grupo de funciones de frase FR(3)
Nota: El diagrama muestra el grupo completo FR(3), el subgrupo de rotaciones ROT(3), los
tres subgrupos de reflexión A, B y C, y el subgrupo trivial E. La estructura obtenida coincide
con el retículo clásico de subgrupos del grupo diedral D₃ y del grupo simétrico S₃.
Fuente: elaboración propia.
Realizaciones clásicas de FR(3)
La construcción algebraica del grupo de funciones de frase (FR(3), ◦) lo conecta naturalmente
con varios grupos clásicos que aparecen en álgebra y geometría. Estas conexiones se establecen
mediante isomorfismos explícitos, revelando que muchos grupos de simetría familiares
emergen de manera natural dentro del marco de las funciones de frase.
Realización 1. El subgrupo de rotaciones ROT(3) es isomorfo al grupo cíclico ℤ₃.
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Puesto que todo grupo cíclico de orden tres es isomorfo a ℤ₃, la realización previa de ROT(3)
como el grupo cíclico C₃ admite la siguiente interpretación aritmética concreta (Fraleigh, 2003;
Gallian, 2021).
En álgebra, el conjunto finito ℤ₃ = {0, 1, 2} de clases de congruencia módulo 3 forma un grupo
cíclico bajo la suma módulo 3. La tabla de operación correspondiente se muestra en la Tabla
7.
Tabla 7. Tabla de suma del grupo cíclico (ℤ₃, +)
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
Fuente: elaboración propia.
Teorema 18. El subgrupo de rotaciones (ROT(3), ◦) es isomorfo al grupo cíclico (ℤ₃, +).
Demostración. Definimos la aplicación φ : ROT(3) → ℤ₃ mediante
φ(f₁) = 0, φ(f₂) = 1, φ(f₃) = 2.
La aplicación φ es biyectiva, pues establece una correspondencia uno a uno entre las tres
funciones de frase de rotación de ROT(3) y las tres clases de congruencia de ℤ₃.
Además, para todos fᵢ, fⱼ ROT(3), se tiene que φ(fᵢ ◦ fⱼ) = φ(fᵢ) + φ(fⱼ), donde ◦ denota la
composición en ROT(3) y + denota la suma módulo 3 en ℤ₃.
Esto se sigue directamente de la tabla de composición de ROT(3) y de la tabla de suma de ℤ₃.
Por lo tanto, φ es un homomorfismo biyectivo y, en consecuencia, un isomorfismo. □
Realización 2. El grupo de funciones de frase FR(3) es isomorfo al grupo diedral D₃.
El grupo diedral D₃ es el grupo de simetrías del triángulo equilátero y proporciona el modelo
geométrico clásico para el grupo de funciones de frase FR(3). Como se estableció previamente,
(FR(3), ◦) D₃.
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Bajo esta correspondencia, las funciones de frase de rotación corresponden a las simetrías
rotacionales del triángulo, mientras que las funciones de frase de reflexión corresponden a sus
tres simetrías axiales.
Realización 3. El grupo de funciones de frase FR(3) es isomorfo al grupo simétrico S₃.
El grupo simétrico S₃ está formado por todas las permutaciones de tres símbolos y proporciona
la realización combinatoria clásica de FR(3). Como se estableció previamente, (FR(3), ◦) S₃.
Bajo esta correspondencia, las funciones de frase de rotación se identifican con las
permutaciones pares de tres símbolos, mientras que las funciones de frase de reflexión se
identifican con las permutaciones impares. Desde el punto de vista combinatorio, esta
identificación conecta el marco de funciones de frase con la teoría clásica de grupos de
permutaciones (Cameron, 1999; Dixon y Mortimer, 1996).
Por lo tanto, el marco de funciones de frase admite interpretaciones aritméticas, geométricas y
combinatorias mediante los grupos clásicos ℤ₃, D₃ y S₃.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Los resultados obtenidos muestran que las funciones de frase definidas sobre frases formadas
por hasta tres letras distintas generan estructuras algebraicas progresivamente más complejas.
El grupo FR(1) constituye el caso trivial, representado geométricamente por un punto y
algebraicamente por el grupo trivial de orden uno.
El grupo FR(2) produce una estructura cíclica de orden dos, asociada geométricamente a las
simetrías de un segmento y algebraicamente isomorfa a C₂ y ℤ₂.
El caso FR(3) representa el primer ejemplo no abeliano dentro del marco de funciones de frase.
Su estructura algebraica coincide con la del grupo diedral D₃ y, en consecuencia, con la del
grupo simétrico S₃, estableciendo conexiones naturales entre lenguaje, combinatoria, álgebra y
geometría.
Uno de los aspectos más relevantes del trabajo es que la estructura de grupo emerge de manera
natural a partir de operaciones definidas sobre frases y palabras, mostrando que procesos
lingüísticos elementales pueden dar lugar a objetos algebraicos clásicos.
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Desde el punto de vista geométrico, las funciones de frase admiten realizaciones visuales
mediante puntos, segmentos y triángulos equiláteros, proporcionando interpretaciones
intuitivas de conceptos como rotaciones, reflexiones, subgrupos e isomorfismos. La
coexistencia de rotaciones y reflexiones dentro de una misma configuración geométrica
constituye una característica fundamental de las estructuras de simetría plana (Conway, Burgiel
y Goodman-Strauss, 2008).
Asimismo, la aparición de los grupos C₂, C₃, ℤ₂, ℤ₃, D₃ y S₃ dentro del marco de funciones de
frase sugiere que esta construcción puede extenderse naturalmente a grupos definidos sobre
frases con un mayor número de letras distintas.
En particular, los resultados obtenidos constituyen una motivación natural para el estudio de
grupos de funciones de frase de orden superior, tales como FR(4), así como de sus posibles
conexiones con estructuras algebraicas y geométricas más generales. Finalmente, el presente
trabajo muestra que las funciones de frase proporcionan un marco unificado en el que lenguaje,
álgebra y geometría pueden interpretarse como manifestaciones complementarias de una
misma estructura matemática subyacente.
CONCLUSIÓN
En este trabajo se introdujeron y estudiaron los tres primeros grupos de funciones de frase,
obtenidos a partir de construcciones combinatorias definidas sobre frases formadas por una,
dos y tres letras distintas.
Se demostró que FR(1) corresponde al grupo trivial, mientras que FR(2) constituye un grupo
cíclico de orden dos isomorfo a C₂ y ℤ₂, con una realización geométrica asociada a las simetrías
de un segmento.
El principal resultado del trabajo es la caracterización de FR(3) como un grupo no abeliano
isomorfo a D₃ y S₃, junto con la descripción explícita de sus subgrupos, retículo y realizaciones
clásicas.
Desde el punto de vista conceptual, los resultados obtenidos muestran que estructuras
algebraicas clásicas pueden emerger naturalmente a partir de operaciones definidas
originalmente sobre palabras y frases. En este sentido, el marco de las funciones de frase
establece un puente entre lenguaje, combinatoria, álgebra y geometría, permitiendo interpretar
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estas disciplinas como diferentes manifestaciones de una misma estructura matemática
subyacente.
Finalmente, los resultados obtenidos sugieren la posibilidad de extender esta construcción a
grupos de funciones de frase definidos sobre un mayor número de letras distintas, lo que abre
nuevas líneas de investigación relacionadas con la teoría de grupos finitos, las simetrías
geométricas y las aplicaciones interdisciplinarias de las estructuras algebraicas derivadas del
lenguaje.
AGRADECIMIENTOS
El autor desea agradecer a su familia y colegas por su apoyo y estímulo a lo largo de este
trabajo.
REFERENCIAS
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Artin, M. (2011). Algebra (2nd ed.). Pearson.
Cameron, P. J. (1999). Permutation Groups. Cambridge University Press.
Carter, N. (2009). Visual Group Theory. Mathematical Association of America.
Conway, J. H., Burgiel, H., & Goodman-Strauss, C. (2008). The Symmetries of Things.
A K Peters.
Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry (2nd ed.). John Wiley & Sons.
Dixon, J. D., & Mortimer, B. (1996). Permutation Groups. Springer.
Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons.
Fraleigh, J. B. (2003). A First Course in Abstract Algebra (7th ed.). Addison-Wesley.
Gallian, J. A. (2021). Contemporary Abstract Algebra (10th ed.). Cengage Learning.
González Díaz, F. R. (2025). El grupo de funciones de frases FR(4): estructura algebraica,
simetría y aplicaciones visuales. Revista Veritas de Difusão Científica, 6(2),
6015–6071. https://doi.org/10.61616/rvdc.v6i2.944
González Díaz, F. R., & García Salcedo, R. (2024). Conteo de letras de una frase con los
dedos y matrices. CIENCIA ergo-sum, 31.
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Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (2nd ed.). John Wiley & Sons.
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Internacional (CC BY 4.0). Esto permite el uso, distribución y reproducción en cualquier medio, incluidos fines
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: https://orcid.org/0009-0009-9704-1119
Cómo citar este artículo (APA 7ª edición):
González Díaz, F. R. (2026). Los Tres Primeros Grupos de Funciones de Frases: Estructura
Algebraica, Simetría y Realizaciones Geométricas. Prisma ODS: Revista Multidisciplinaria
Sobre Desarrollo Sostenible, 5(3), 724-758. https://orcid.org/0009-0009-9704-1119
