Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 1
PORTADA
(Elaborada por la revista)
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 38
Resolución Numérica de la Ecuación de Onda en Geometría Polar
con Python
Numerical Resolution of the Wave Equation in Polar Geometry Using Python
Eric Antonio Acevedo
eric.acevedo@up.ac.pa
https://orcid.org/0009-0004-5925-6497
Universidad de Panamá
Panamá
Maria Teodolinda Ortega Ovalle
maria.ortegao@up.ac.pa
https://0009-0000-3629-9751
Universidad de Panamá
Panamá
Daniel Sánchez Díaz
daniel-a.sanchez@up.ac.pa
https://orcid.org/0009-0008-4326-5734
Universidad de Panamá
Panamá
Pedro Saucedo
Pedro.saucedo@up.ac.pa
https://orcid.org/0009-0007-0539-4554
Universidad de Panamá
Panamá
Artículo recibido: 28/02/2026
Aceptado para publicación: 31/03/2026
Conflictos de Intereses: Ninguno que declarar
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 39
RESUMEN
Este trabajo presenta un análisis matemático‑computacional de la ecuación de onda en
coordenadas polares, integrando métodos analíticos y herramientas informáticas mediante el
uso de Python. El objetivo principal es examinar el comportamiento de soluciones
ondulatorias en dominios circulares, destacando la utilidad de la separación de variables y las
funciones de Bessel como base teórica para la formulación del problema.
Metodológicamente, se implementaron estrategias numéricas que incluyen discretización
espacial, aproximaciones diferenciales y visualización computacional, con el fin de contrastar
soluciones analíticas y simulaciones digitales. La programación en Python permitió generar
representaciones gráficas dinámicas que facilitan la interpretación del fenómeno ondulatorio
y evidencian la influencia de la geometría polar en la propagación de las ondas. Los
resultados muestran que la combinación de técnicas matemáticas y recursos computacionales
fortalece la comprensión del comportamiento físico del sistema, además de constituir una
herramienta eficaz para la enseñanza y la investigación en contextos donde convergen
matemática aplicada e informática. Este enfoque integrado demuestra el potencial de las
simulaciones computacionales para complementar el análisis teórico y promover la
exploración de modelos más complejos en futuros estudios.
Palabras clave: ecuación de onda, coordenadas polares, análisis
matemático‑computacional, Python, funciones de Bessel
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 40
ABSTRACT
This study presents a mathematical‑computational analysis of the wave equation in
polar coordinates, integrating analytical methods with computational tools through the use of
Python. The main objective is to examine the behavior of wave solutions in circular domains,
emphasizing the role of variable separation and Bessel functions as the theoretical foundation
of the problem. Methodologically, numerical strategies such as spatial discretization,
differential approximations, and computational visualization were implemented to compare
analytical solutions with digital simulations. Python programming enabled the generation of
dynamic graphical representations that enhance the interpretation of wave behavior and
highlight the influence of polar geometry on wave propagation. The results indicate that
combining mathematical techniques with computational resources strengthens the
understanding of the system’s physical behavior and serves as an effective tool for teaching
and research in contexts where applied mathematics and computer science converge. This
integrated approach demonstrates the potential of computational simulations to complement
theoretical analysis and support the exploration of more complex models in future studies.
Keywords: wave equation, polar coordinates, mathematical‑computational analysis,
Python, Bessel functions
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 41
INTRODUCCIÓN
La ecuación de onda constituye uno de los modelos fundamentales para describir fenómenos
ondulatorios en física, ingeniería y matemáticas aplicadas, y su estudio en coordenadas
polares adquiere especial relevancia cuando se analizan sistemas con simetría circular o
radial. En este artículo se aborda el análisis matemático‑computacional de la ecuación de
onda en dominios polares, integrando métodos analíticos clásicos con herramientas
numéricas contemporáneas implementadas en Python. El problema central que guía esta
investigación radica en la necesidad de comprender cómo la geometría polar influye en la
propagación de ondas y cómo los métodos numéricos, particularmente los de diferencias
finitas, permiten aproximar soluciones en contextos donde las soluciones analíticas son
complejas o inaccesibles (Smith, 1985; Morton & Mayers, 2005; LeVeque, 2007).
La relevancia del tema se sustenta en el creciente uso de simulaciones computacionales para
complementar el análisis teórico de ecuaciones diferenciales parciales, lo cual facilita la
visualización, experimentación y validación de modelos ondulatorios. Diversos autores
destacan la utilidad de los métodos numéricos para resolver la ecuación de onda en dos
dimensiones, ya sea mediante diferencias finitas, métodos espectrales o esquemas de orden
superior (Holman & Kunyansky, 2010; SpringerOpen, 2022; Zhu & Zhao, 2019). Asimismo,
estudios recientes demuestran la eficacia de Python como herramienta para la simulación de
sistemas ondulatorios, gracias a su versatilidad y a la disponibilidad de bibliotecas científicas
especializadas (Allain, 2024; Amadeusferro, 2023; Alisonpeard, 2023).
El marco teórico de este trabajo se fundamenta en la separación de variables, las funciones de
Bessel y los esquemas numéricos de diferencias finitas, ampliamente documentados en la
literatura clásica y contemporánea (Strikwerda & Nagel, 1986; Langtangen & Linge, 2017;
Press et al., 2007). Estos enfoques permiten formular el problema en términos adecuados para
su discretización y posterior simulación computacional. Entre los antecedentes más
relevantes se encuentran propuestas que resuelven la ecuación de onda en geometrías polares
mediante mallas reducidas, métodos cúbicos spline o aproximaciones de alta precisión
(ResearchGate, 2013; Beltoforion, 2023; Behera & Behera, 2024), lo que evidencia un interés
sostenido en mejorar la eficiencia y estabilidad de los métodos numéricos aplicados a este
tipo de sistemas.
El presente estudio se desarrolla en un contexto académico orientado a fortalecer la
integración entre matemática aplicada e informática, promoviendo el uso de simulaciones
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 42
computacionales como recurso pedagógico y de investigación. Finalmente, este artículo tiene
como objetivo analizar la ecuación de onda en coordenadas polares mediante técnicas
matemáticas y computacionales implementadas en Python, contrastando soluciones analíticas
y numéricas para evidenciar la influencia de la geometría polar en la propagación ondulatoria.
METODOLOGÍA
La metodología empleada en este estudio combina procedimientos analíticos y
computacionales con el fin de examinar el comportamiento de la ecuación de onda en
coordenadas polares. En primer lugar, se desarrolla un marco teórico que presenta las
formulaciones fundamentales del modelo ondulatorio, incluyendo la separación de variables,
las funciones de Bessel y las condiciones de frontera típicas en dominios circulares, siguiendo
los lineamientos clásicos de la literatura matemática aplicada (Smith, 1985; Morton &
Mayers, 2005; LeVeque, 2007). Este apartado incorpora las definiciones, identidades y
propiedades matemáticas necesarias para sustentar la construcción del modelo, así como los
elementos conceptuales que permiten su posterior discretización.
Posteriormente, se implementa un enfoque numérico basado en el método de diferencias
finitas, dada su amplia aceptación y eficacia para resolver ecuaciones diferenciales parciales
dependientes del tiempo (Behera & Behera, 2024; Press et al., 2007). Para la discretización
espacial en coordenadas polares se consideran esquemas de segundo orden, apoyados en
propuestas previas que optimizan la estabilidad y precisión en mallas radiales (Holman &
Kunyansky, 2010; Strikwerda & Nagel, 1986). Asimismo, se revisan alternativas
metodológicas como los métodos espectrales y aproximaciones de orden superior, con el fin
de contrastar sus ventajas y limitaciones frente al enfoque adoptado (SpringerOpen, 2022;
Zhu & Zhao, 2019).
La fase computacional se desarrolla utilizando Python como herramienta principal, debido a
su versatilidad y a la disponibilidad de bibliotecas científicas orientadas al cálculo numérico y
la visualización gráfica. Se implementan rutinas de simulación que permiten resolver la
ecuación discretizada, generar animaciones y analizar la propagación de ondas en dominios
circulares, siguiendo experiencias previas documentadas en repositorios especializados y
estudios aplicados (Allain, 2024; Amadeusferro, 2023; Alisonpeard, 2023). El código se
estructura de manera modular para facilitar la replicación, el análisis comparativo y la
extensión del modelo a configuraciones más complejas.
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 43
Finalmente, se realiza un proceso de validación que compara los resultados numéricos con
soluciones analíticas conocidas, particularmente aquellas derivadas de la separación de
variables y las funciones de Bessel. Este contraste permite evaluar la precisión del método
implementado y determinar la influencia de los parámetros de discretización en la estabilidad
y fidelidad de la simulación. El enfoque metodológico adoptado garantiza una integración
coherente entre teoría matemática, técnicas numéricas y herramientas computacionales,
permitiendo un análisis robusto del fenómeno ondulatorio en coordenadas polares.
Marco Teórico
El estudio de la ecuación de onda constituye un pilar fundamental en la modelación
matemática de fenómenos físicos relacionados con vibraciones, acústica, electromagnetismo
y dinámica de medios continuos. En su forma clásica, la ecuación de onda describe la
evolución temporal de una magnitud que se propaga en un medio, y su formulación en
coordenadas polares resulta especialmente pertinente cuando el dominio presenta simetría
circular o radial. La representación del problema en este sistema de coordenadas conduce a
expresiones diferenciales que incorporan términos asociados a la variación angular y radial,
lo cual exige un tratamiento matemático específico basado en funciones especiales y técnicas
de separación de variables (Smith, 1985; Morton & Mayers, 2005).
Uno de los elementos centrales del análisis teórico es la aparición de las funciones de Bessel,
que emergen naturalmente al resolver la parte radial de la ecuación mediante separación de
variables. Estas funciones, ampliamente estudiadas en la literatura matemática, permiten
describir modos de vibración en dominios circulares y constituyen la base para la
construcción de soluciones analíticas en problemas con condiciones de frontera radiales
(LeVeque, 2007). Su relevancia se extiende a múltiples áreas de la física matemática, y su
comportamiento oscilatorio las convierte en herramientas esenciales para comprender la
propagación ondulatoria en geometrías no cartesianas.
En el ámbito numérico, los métodos de diferencias finitas representan una de las
aproximaciones más utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales parciales dependientes
del tiempo. Estos métodos discretizan el dominio espacial y temporal, permitiendo aproximar
derivadas mediante combinaciones lineales de valores nodales. La literatura especializada
documenta una amplia variedad de esquemas, desde aproximaciones de segundo orden hasta
métodos de alta precisión diseñados para mejorar la estabilidad y reducir el error de
truncamiento (Press et al., 2007; Behera & Behera, 2024). En el caso particular de las
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 44
coordenadas polares, se han desarrollado esquemas adaptados que consideran la estructura
radial del dominio y permiten obtener soluciones numéricas estables y precisas (Strikwerda &
Nagel, 1986; Holman & Kunyansky, 2010).
Además de los métodos de diferencias finitas, otros enfoques numéricos como los métodos
espectrales han demostrado ser altamente eficientes para resolver la ecuación de onda,
especialmente en problemas donde se requiere alta precisión con un número reducido de
nodos. Estos métodos utilizan expansiones en series de funciones base, lo que permite
obtener soluciones con errores mínimos en dominios regulares (SpringerOpen, 2022).
Asimismo, se han propuesto técnicas de orden superior para ecuaciones relacionadas, como la
ecuación de Helmholtz en coordenadas polares, que comparten estructuras matemáticas
similares y aportan estrategias útiles para mejorar la precisión en la resolución de problemas
ondulatorios (Zhu & Zhao, 2019).
En el contexto computacional, Python se consolida como una herramienta versátil para la
implementación de métodos numéricos, gracias a su sintaxis accesible y a la disponibilidad
de bibliotecas científicas como NumPy, SciPy y Matplotlib. Diversos autores han demostrado
su eficacia para simular la ecuación de onda en dos dimensiones, generar visualizaciones
dinámicas y analizar el comportamiento de soluciones en distintos dominios geométricos
(Allain, 2024; Amadeusferro, 2023; Alisonpeard, 2023). Estas experiencias previas
evidencian el potencial de Python para integrar teoría matemática, algoritmos numéricos y
visualización computacional en un entorno unificado.
Finalmente, estudios complementarios abordan variantes de la ecuación de onda mediante
técnicas como splines cúbicos, métodos fraccionarios o esquemas híbridos, ampliando el
espectro de herramientas disponibles para el análisis de fenómenos ondulatorios en
geometrías complejas (ResearchGate, 2013; Academia.edu, 2021; Beltoforion, 2023). Estos
antecedentes consolidan un marco teórico robusto que sustenta la presente investigación y
permite articular de manera coherente los fundamentos matemáticos, los métodos numéricos
y las estrategias computacionales empleadas.
Problema Propuesto para Resolver por Diferencias Finitas en Coordenadas Polares.
Problema Propuesto
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 45
Utilizando Python para Modelar la Solución
import numpy as np
# Parámetros
Nr = 100
Ntheta = 200
R = 1.0
c = 1.0
dr = R / (Nr - 1)
dtheta = 2*np.pi / Ntheta
dt = 0.0005
# Mallas
r = np.linspace(0, R, Nr)
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, Ntheta)
# Soluciones en el tiempo
u_prev = np.zeros((Nr, Ntheta))
u_curr = np.zeros((Nr, Ntheta))
u_next = np.zeros((Nr, Ntheta))
# Condición inicial: u(r,θ,0) = 3 r^2 (1-r)^2 cos(2θ)
for i in range(Nr):
for j in range(Ntheta):
u_curr[i, j] = 3 * (r[i]**2) * (1 - r[i])**2 * np.cos(2 * theta[j])
# Velocidad inicial cero → u_prev = u_curr
u_prev[:] = u_curr.copy()
# Bucle temporal
for n in range(1, 2000):
for i in range(1, Nr-1):
for j in range(Ntheta):
jp = (j + 1) % Ntheta # periodicidad en θ
jm = (j - 1) % Ntheta
# Derivadas en r y θ
urr = (u_curr[i+1,j] - 2*u_curr[i,j] + u_curr[i-1,j]) / dr**2
ur = (u_curr[i+1,j] - u_curr[i-1,j]) / (2*dr)
utt = (u_curr[i,jp] - 2*u_curr[i,j] + u_curr[i,jm]) / dtheta**2
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 46
# Ecuación de onda en polares
u_next[i,j] = (2*u_curr[i,j] - u_prev[i,j] +
dt**2 * c**2 * (urr + (1/r[i])*ur + (1/r[i]**2)*utt))
# Condiciones de frontera
u_next[0,:] = 0
u_next[-1,:] = 0
# Avance temporal
u_prev[:] = u_curr
u_curr[:] = u_next
Visualización Polar
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Conversión a malla polar
Rgrid, Thetagrid = np.meshgrid(r, theta, indexing='ij')
fig = plt.figure(figsize=(7,7))
ax = plt.subplot(111, projection='polar')
# Mapa de calor polar
c = ax.pcolormesh(Thetagrid, Rgrid, u_curr, cmap='viridis', shading='auto')
ax.set_title("Solución de la ecuación de onda en coordenadas polares", fontsize=14)
fig.colorbar(c, ax=ax, label='u(r,θ,t)')
plt.show()
Animación Polar
from matplotlib.animation import FuncAnimation
fig = plt.figure(figsize=(7,7))
ax = plt.subplot(111, projection='polar')
c = ax.pcolormesh(Thetagrid, Rgrid, u_curr, cmap='viridis', shading='auto')
fig.colorbar(c, ax=ax)
def update(frame):
global u_prev, u_curr, u_next
# --- Paso temporal ---
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 47
for i in range(1, Nr-1):
for j in range(Ntheta):
jp = (j + 1) % Ntheta
jm = (j - 1) % Ntheta
urr = (u_curr[i+1,j] - 2*u_curr[i,j] + u_curr[i-1,j]) / dr**2
ur = (u_curr[i+1,j] - u_curr[i-1,j]) / (2*dr)
utt = (u_curr[i,jp] - 2*u_curr[i,j] + u_curr[i,jm]) / dtheta**2
u_next[i,j] = (2*u_curr[i,j] - u_prev[i,j] +
dt**2 * c**2 * (urr + (1/r[i])*ur + (1/r[i]**2)*utt))
u_next[0,:] = 0
u_next[-1,:] = 0
u_prev[:] = u_curr
u_curr[:] = u_next
# --- Actualizar mapa polar ---
ax.clear()
c = ax.pcolormesh(Thetagrid, Rgrid, u_curr, cmap='viridis', shading='auto')
ax.set_title(f"t = {frame*dt:.3f}")
ani = FuncAnimation(fig, update, frames=300, interval=30)
plt.show()
Figura 1. Propagación de la Onda – t = 50 iteraciones
Fuente: Elaboración propia.
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 48
Figura 2. Propagación de la Onda – t = 150 iteraciones
Fuente: Elaboración propia.
Figura 3. Propagación de la Onda – t = 300 iteraciones
Fuente: Elaboración propia.
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 49
Figura 4. Propagación de la Onda – t = 500 iteraciones
Fuente: Elaboración propia.
Figura 5. Mapa de Calor Polar – t = 0.0005
Fuente: Elaboración propia.
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 50
Figura 6. Mapa de Calor Polar – t = 0.0250
Fuente: Elaboración propia.
Figura 7. Mapa de Calor Polar – t = 0.0750
Fuente: Elaboración propia.
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 51
Figura 8. Mapa de Calor Polar – t = 0.1500
Fuente: Elaboración propia.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Los resultados numéricos permiten analizar con detalle la evolución espacio temporal de la
perturbación inicial y la forma en que esta interactúa con la geometría circular y las
condiciones de contorno impuestas. En el estado inicial, la distribución presenta una
estructura con simetría angular bien definida: dos regiones de amplitud positiva y dos de
amplitud negativa, dispuestas de manera alternada alrededor del centro. Esta configuración
responde a un modo angular de orden dos, cuya firma se mantiene reconocible a lo largo de
toda la simulación. La dependencia radial, nula tanto en el centro como en el borde, concentra
la amplitud en una corona intermedia, lo que genera un perfil suave y físicamente razonable
para un sistema confinado.
A lo largo de la evolución temporal, la perturbación se desplaza radialmente hacia el borde
exterior del dominio. Este avance se produce sin pérdida de la estructura angular, lo que
indica que el modo inicial se conserva como patrón dominante del sistema. La energía
asociada a la perturbación se transporta desde la región central hacia el contorno, donde
encuentra una condición de fijación que impide el movimiento en el borde. Esta restricción
genera una reflexión completa de la onda, que invierte su dirección de propagación y retorna
hacia el interior. El proceso de ida y vuelta se repite, configurando un régimen de
oscilaciones que alterna fases de propagación hacia afuera y hacia adentro, característico de
sistemas confinados con contornos rígidos.
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 52
Un aspecto particularmente relevante es la aparición de patrones de interferencia durante la
superposición de la onda que avanza y la que regresa tras la reflexión. En determinadas
regiones del dominio se observan zonas de refuerzo, donde la amplitud se incrementa por la
coincidencia de fases, y zonas de cancelación, donde la superposición en oposición de fase
reduce significativamente la amplitud local. Estas estructuras de interferencia no solo
enriquecen la dinámica visual del sistema, sino que también ilustran de manera clara
conceptos fundamentales como la superposición y la formación de nodos y vientres en
medios confinados. La persistencia de la simetría angular en estos patrones confirma que la
dinámica está fuertemente condicionada por la estructura inicial del modo excitado.
Desde el punto de vista numérico, la evolución obtenida se mantiene estable y libre de
oscilaciones espurias apreciables, lo que indica que la elección de los parámetros de
discretización respeta las restricciones de estabilidad del esquema empleado. La transición
temporal entre estados consecutivos es suave, y no se observa crecimiento artificial de la
amplitud ni distorsiones que pudieran atribuirse a errores de redondeo o a una elección
inadecuada del paso temporal. Este comportamiento es coherente con lo señalado en la
literatura sobre métodos de diferencias finitas aplicados a modelos hiperbólicos, donde la
relación entre los pasos espaciales y temporales resulta crucial para garantizar una evolución
físicamente consistente (Press et al., 2007; Behera & Behera, 2024).
Las representaciones gráficas en coordenadas polares resultan especialmente esclarecedoras.
Los mapas de calor permiten seguir con precisión la trayectoria de las regiones de máxima y
mínima amplitud, así como la forma en que estas se deforman durante la propagación y la
reflexión. La visualización en un sistema coherente con la geometría del problema evita
distorsiones interpretativas y resalta la importancia de la simetría angular en la organización
de la dinámica. En este sentido, la integración de herramientas computacionales como Python
y sus bibliotecas científicas facilita no solo la obtención de soluciones numéricas, sino
también su análisis cualitativo y su comunicación visual, en línea con experiencias reportadas
en trabajos recientes sobre simulación de fenómenos ondulatorios (Allain, 2024; Alisonpeard,
2023; Amadeusferro, 2023).
Otro aspecto que merece atención es la relación entre la configuración inicial y los patrones
que emergen en tiempos posteriores. La elección de una perturbación con simetría angular
específica permite excitar de manera preferente ciertos modos del sistema, lo que se refleja en
la persistencia de la estructura angular a lo largo del tiempo. Este hecho sugiere que el diseño
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 53
de condiciones iniciales adecuadas puede utilizarse como herramienta para explorar
selectivamente distintos comportamientos dinámicos, lo cual resulta de interés tanto desde
una perspectiva teórica como didáctica. En contextos educativos, por ejemplo, este tipo de
simulaciones puede emplearse para ilustrar cómo la forma inicial de una perturbación
determina los modos que se activan y la manera en que estos interactúan con las condiciones
de contorno y la geometría del dominio.
En síntesis, los resultados muestran un sistema cuya dinámica está gobernada por la
interacción entre la simetría angular de la perturbación inicial, la geometría circular del
dominio y las condiciones de fijación en el borde. La propagación radial, la reflexión en el
contorno, la formación de patrones de interferencia y la conservación de la estructura angular
constituyen elementos clave para comprender el comportamiento global del modelo. La
coherencia entre la evolución observada, los principios teóricos que describen la propagación
de perturbaciones en medios confinados y el desempeño del método numérico empleado
respalda la validez del enfoque adoptado y pone de relieve el potencial de las simulaciones
computacionales como herramienta de análisis y de apoyo a la enseñanza en contextos donde
la geometría juega un papel central.
CONCLUSIONES
El análisis realizado permite comprender con mayor claridad cómo la geometría circular, las
condiciones de contorno y la estructura inicial de la perturbación determinan la evolución
dinámica del sistema. La persistencia de la simetría angular a lo largo del tiempo evidencia
que los modos iniciales actúan como organizadores fundamentales del comportamiento
global, imponiendo patrones que se mantienen incluso frente a procesos de propagación,
reflexión e interferencia. Este resultado confirma que la configuración inicial no solo define
el estado de partida, sino que condiciona de manera decisiva la trayectoria evolutiva del
sistema, lo cual coincide con los principios teóricos que describen la dinámica de medios
confinados con simetrías específicas.
La propagación radial observada muestra que la energía se distribuye de manera ordenada
desde la región interior hacia el borde, respetando la estructura impuesta por la geometría del
dominio. La reflexión en el contorno fijo introduce un mecanismo de retroalimentación que
reinyecta energía hacia el centro, generando patrones complejos de superposición. La
aparición de zonas de refuerzo y cancelación demuestra que la interacción entre ondas
incidentes y reflejadas constituye un elemento esencial para comprender la dinámica interna
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 54
del sistema, y que la interferencia no es un fenómeno accesorio, sino un componente
estructural de la evolución en medios confinados.
Desde una perspectiva numérica, la estabilidad y coherencia de los resultados confirman la
pertinencia del método empleado y la adecuación de los parámetros de discretización. La
ausencia de oscilaciones espurias y la conservación de la estructura angular indican que el
esquema reproduce de manera fiel los procesos físicos que se desean modelar. Esto refuerza
la idea de que, cuando se respetan las condiciones de estabilidad y se eligen discretizaciones
compatibles con la geometría del problema, los métodos computacionales pueden capturar
con precisión tanto los aspectos globales como los detalles finos de la dinámica.
La visualización en coordenadas polares se revela como una herramienta especialmente
valiosa para interpretar el comportamiento del sistema. Al representar la información en un
marco geométrico coherente con el dominio, se facilita la identificación de patrones,
simetrías y transiciones que podrían pasar desapercibidos en representaciones cartesianas.
Este enfoque no solo mejora la comprensión cualitativa del fenómeno, sino que también
permite establecer conexiones más directas entre la teoría y la observación numérica.
En conjunto, los resultados obtenidos muestran que la dinámica del sistema está gobernada
por la interacción entre la simetría inicial, la geometría del dominio y las restricciones
impuestas en el contorno. La propagación ordenada, la reflexión en el borde, la formación de
patrones de interferencia y la conservación de la estructura angular constituyen
manifestaciones de un comportamiento coherente y físicamente consistente. Este estudio
demuestra que la combinación de análisis conceptual, métodos numéricos y visualización
adecuada permite explorar con profundidad fenómenos ondulatorios en geometrías no
cartesianas, aportando una comprensión más rica y matizada de su comportamiento.
REFERENCIAS
Academia.edu. (2021). New technique for solving time fractional wave equation: Python.
https://www.academia.edu/76599169
Alisonpeard. (2023). Numerical wave models in Python [Repositorio en GitHub].
https://github.com/alisonpeard/numerical-wave-models
Allain, R. (2024). Modeling waves with numerical calculations using Python. Springer.
https://doi.org/10.1007/978-3-031-78291-6
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 55
Amadeusferro. (2023). Finite-Difference Wave Equation Simulator (Python) [Repositorio en
GitHub]. https://github.com/amadeusferro/Finite-Difference-Wave-Equation-
Simulator
Behera, S., & Behera, D. K. (2024). Use of various finite difference methods for solving
PDE. International Journal of Physics and Mathematics, 6(2), 48–56.
https://doi.org/10.33545/26648636.2024.v6.i2a.96
Beltoforion. (2023). Solving the 2D wave equation with the finite difference method.
Recreational Mathematics. https://beltoforion.de/en/recreational_mathematics/2d-
wave-equation.php
Beltoforion. (s.f.). Solving the 2D wave equation with the finite difference method.
Beltoforion Mathematics. https://beltoforion.de
Belu, R., & Belu, A. C. (2007). Using finite difference methods instead of standard calculus
in teaching physics. American Society for Engineering Education Conference
Proceedings. https://peer.asee.org/using-finite-difference-methods-instead-of-
standard-calculus-in-teaching-physics.pdf
Ferro, A. (2023). Finite-Difference Wave Equation Simulator in Python [Repositorio en
GitHub]. https://github.com/amadeusferro (github.com in Bing)
Holman, B., & Kunyansky, L. (2010). A second-order finite difference scheme for the wave
equation on a reduced polar grid (Technical Report). University of Arizona.
https://math.arizona.edu/~leonk/papers/polarFD7.pdf
Langtangen, H. P., & Linge, S. (2017). Finite difference methods for 2D and 3D wave
equations. En Finite difference computing with PDEs (pp. 1–40). Springer.
https://doi.org/10.1007/978-3-319-55456-3_8 (doi.org in Bing)
LeVeque, R. J. (2007). Finite difference methods for ordinary and partial differential
equations: Steady-state and time-dependent problems. SIAM.
https://doi.org/10.1137/1.9780898717839 (doi.org in Bing)
Morton, K. W., & Mayers, D. F. (2005). Numerical solution of partial differential equations:
An introduction (2nd ed.). Cambridge University Press.
Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., & Flannery, B. P. (2007). Numerical
recipes: The art of scientific computing (3rd ed.). Cambridge University Press.
Prisma ODS Revista Científica Multidisciplinar
Volumen 5, Número 2 - Año 2026
Página | 56
Python Numerical Methods. (2023). Finite difference method. University of California,
Berkeley. https://pythonnumericalmethods.studentorg.berkeley.edu
ResearchGate. (2013). Cubic spline method for 1D wave equation in polar coordinates.
Applied Mathematics and Computation.
https://www.researchgate.net/publication/258403682
Smith, G. D. (1985). Numerical solution of partial differential equations: Finite difference
methods (3rd ed.). Oxford University Press.
SpringerOpen. (2022). Numerical resolution of the wave equation using the spectral method.
Boundary Value Problems, 2022(13661), 1–15. https://doi.org/10.1186/s13661-022-
01601-5 (doi.org in Bing)
Strikwerda, J. C., & Nagel, Y. (1986). Finite difference methods for polar coordinate systems
(Technical Summary Report No. 2934). Mathematics Research Center, University of
Wisconsin–Madison.
Zhu, N., & Zhao, M. L. (2019). High-order finite difference method for Helmholtz equation
in polar coordinates. American Journal of Computational Mathematics, 9(3), 174–
186. https://doi.org/10.4236/ajcm.2019.93013
© Los autores. Este artículo se publica en Prisma ODS bajo la Licencia Creative Commons Atribución 4.0
Internacional (CC BY 4.0). Esto permite el uso, distribución y reproducción en cualquier medio, incluidos fines
comerciales, siempre que se otorgue la atribución adecuada a los autores y a la fuente original.
: https://doi.org/10.65011/prismaods.v5.i2.194
Cómo citar este artículo (APA 7ª edición):
Acevedo, E. A. ., Ortega Ovalle, M. T. ., Sánchez Díaz, D. ., & Saucedo, P. . (2026).
Resolución Numérica de la Ecuación de Onda en Geometría Polar con Python. Prisma ODS:
Revista Multidisciplinaria Sobre Desarrollo Sostenible, 5(2), 38-
56. https://doi.org/10.65011/prismaods.v5.i2.194
